動態規劃（Dynamic Programming, DP）是一種用于解決多階段決策問題的算法設計方法。它通過將復雜問題分解為更簡單的子問題，并存儲這些子問題的解以避免重復計算，從而提高求解效率。
動態規劃的核心概念
狀態定義與狀態轉移方程
動態規劃的關鍵在于合理地定義狀態和建立狀態轉移方程：
- 狀態（State）：表示問題的一個特定階段或條件。例如，在背包問題中，狀態可以是當前考慮的物品索引和剩余容量。
- 狀態轉移方程（State Transition Equation）：描述從一個狀態到另一個狀態的變化規則。它通常包含遞推關系，用以表達當前狀態如何依賴于先前的狀態。
邊界條件與初始化
為了確保遞歸過程有明確的終止點，需要設定合理的邊界條件并進行初始化：
- 邊界條件（Boundary Conditions）：規定某些特殊狀態下問題的解，如初始狀態或最簡狀態。
- 初始化（Initialization）：設置初始值或預處理數據，以便遞歸計算能夠順利進行。
動態規劃的優化策略
自底向上（Bottom-Up）構建
自底向上的方法從最簡單的問題開始逐步構建解決方案，直到解決原始問題。這種方法避免了函數調用棧的開銷，適合大規模問題：
記憶化搜索（Memoization）
記憶化搜索是在遞歸過程中記錄已經計算過的子問題結果，當再次遇到相同子問題時直接返回緩存的結果，而不是重新計算：
空間優化
動態規劃有時會占用大量內存，特別是當狀態數量龐大時。通過只保留必要的狀態信息，可以顯著減少空間消耗：
- 滾動數組（Rolling Array）：利用有限長度的數組循環存儲中間結果，適用于僅依賴前幾個狀態的情況。
- 一維數組替代二維數組：如果新狀態僅依賴于上一輪的狀態，可以使用一維數組代替二維數組，節省內存。
應用場景與案例研究
動態規劃廣泛應用于多個領域，包括但不限于：
- 最短路徑問題（Shortest Path Problems）：如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等，通過迭代更新節點間的距離來找到最優路徑。
- 序列比對（Sequence Alignment）：生物信息學中常用的技術，用于比較DNA、蛋白質序列之間的相似性。
- 資源分配（Resource Allocation）：在經濟學和管理科學中，用于優化有限資源的分配，最大化收益或效用。
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